Zadanie 3

Zapisz warunek z zadania w postaci równania $pq+4=r^4$, gdzie $r$ jest liczbą pierwszą. Przekształć je do postaci $pq = r^4 - 4$ i rozłóż prawą stronę na czynniki, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów.

Iloczyn dwóch liczb pierwszych $p$ i $q$ został przedstawiony jako iloczyn $(r^2-2)(r^2+2)$. Rozważ dwa główne przypadki: gdy $p=q$ oraz gdy $p$ i $q$ są różnymi liczbami pierwszymi.

W przypadku $p \ne q$, liczby $p$ i $q$ muszą być równe $r^2-2$ i $r^2+2$. Zauważ, że te dwie liczby, razem z $r^2$, tworzą trzy wyrażenia: $r^2-2, r^2, r^2+2$. Co możesz powiedzieć o ich podzielności przez 3?

Jedna z liczb $r^2-2$, $r^2$, $r^2+2$ musi być podzielna przez 3. Przeanalizuj, co to oznacza dla liczb pierwszych $p, q, r$. Kiedy liczba postaci $r^2+2$ (lub $r^2-2$) może być liczbą pierwszą podzielną przez 3?