Zadanie 5

Niech $p^2 + pq + q^2 = k^2$. Rozważ najpierw prosty przypadek, gdy $p=q$. Następnie, dla $p \neq q$, zastanów się, jak duża jest liczba $k$ w porównaniu do $p$ i $q$.

Zakładając bez straty ogólności, że $p < q$, spróbuj ograniczyć $k^2$ z góry i z dołu przez kwadraty liczb całkowitych. Porównaj $p^2+pq+q^2$ z $q^2$ oraz $(p+q)^2$.

Z poprzedniej wskazówki wynika, że $q < k < p+q$. Oznacza to, że $k$ można zapisać jako $q+m$ dla pewnej dodatniej liczby całkowitej $m$. Jaki warunek musi spełniać $m$? Podstaw $k=q+m$ do równania.

Po podstawieniu i uproszczeniu otrzymasz $(p-m)(p+m) = q(2m-p)$. Ponieważ $q$ jest liczbą pierwszą i $q>p$, przeanalizuj, który z czynników po lewej stronie musi być podzielny przez $q$.