Zadanie 4
2011
Etap I
★★★☆☆Teoria liczb
Kombinatoryka
99 liczb z jedynkami, dwójkami i zerami
Treść zadania
Każda spośród pewnych 99 liczb naturalnych ma w zapisie dziesiętnym 10 jedynek, 20 dwójek oraz pewną liczbę zer. Udowodnij, że liczb tych nie można rozdzielić na dwie grupy w taki sposób, aby iloczyn liczb z pierwszej grupy był równy iloczynowi liczb z drugiej grupy.
Umiejętności (6)
Wymagane umiejętności:
Rozkład na czynniki pierwsze
Podzielność
Zabawy z cyframi
Zdobywane umiejętności:
Rozkład na czynniki pierwsze
Reszty z dzielenia
Zasada szufladkowa
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Zastanów się, jaką własność arytmetyczną mają wszystkie te liczby. Oblicz sumę cyfr każdej z nich i pomyśl, co to mówi o podzielności.
Wskazówka 2
Przypomnij sobie kryterium podzielności przez 3. Jaką resztę z dzielenia przez 3 daje każda z tych 99 liczb?
Wskazówka 3
Jeśli każda liczba daje tę samą resztę z dzielenia przez 3, to jaka jest reszta z dzielenia iloczynu takich liczb? Porównaj reszty dla obu grup.
Wskazówka 4
Gdyby podział istniał, iloczyny obu grup byłyby równe, więc dawałyby tę samą resztę z dzielenia przez 3. Sprawdź, czy jest możliwe dla jakiegoś .