Zadanie 5

Jak można zapisać liczbę złożoną z samych jedynek, a potem całą liczbę z zadania, używając potęg dziesiątki? Wzór na $\underbrace{11\ldots1}_{n}$ to $\frac{10^n-1}{9}$.

Aby wykazać podzielność przez 19, warto skorzystać z małego twierdzenia Fermata, które mówi, że $10^{18} \equiv 1 \pmod{19}$. Jaką resztę z dzielenia musimy znać dla liczby $S$, aby to twierdzenie było przydatne?

Kluczem jest znalezienie reszty z dzielenia $S$ przez $18$. Można to zrobić, badając reszty z dzielenia $S$ przez $2$ i $9$. Jakie proste cechy liczby $S$ pozwolą Ci to zrobić?

Przyjrzyj się ostatniej cyfrze liczby $S$ oraz sumie jej cyfr. Wyznacz na tej podstawie resztę z dzielenia $S$ przez $18$. Teraz możesz obliczyć $10^S \pmod{19}$ i sprawdzić podzielność całej liczby.