Zadanie 1

Zauważ, że aby wszystkie liczby w ciągu miały tę samą cyfrę jedności, wystarczy pokazać, że każda z nich kończy się tą samą cyfrą co pierwsza liczba $n$. Oznacza to, że różnica między dowolnym wyrazem ciągu a liczbą $n$ musi być podzielna przez 10.

Zacznij od najprostszego przypadku: udowodnij, że liczba $n^5$ ma tę samą cyfrę jedności co $n$. Sprowadza się to do wykazania, że różnica $n^5 - n$ jest podzielna przez 10.

Aby udowodnić podzielność $n^5 - n$ przez 10, wykaż, że liczba ta dzieli się przez 2 i przez 5. Warto zapisać tę różnicę w postaci iloczynu $n(n^4 - 1)$ i przeanalizować jego czynniki dla różnych wartości $n$.

Gdy już wiesz, że $n^5$ ma tę samą cyfrę jedności co $n$, zbadaj kolejną liczbę $n^9$. Zapisz ją jako $n^4 \cdot n^5$. Skoro $n^5$ i $n$ mają tę samą końcówkę, czy możesz w tym iloczynie 'podmienić' $n^5$ na $n$, aby otrzymać wynik dla $n^9$?