Zadanie 7
2021
Etap I
★★★★☆Teoria liczb
Kombinatoryka
Cyfry i podzielność przez 7
Treść zadania
Wybrano (niekoniecznie różnych) cyfr, z których żadna nie jest równa 0 ani 7. Okazało się, że każda liczba -cyfrowa zapisana wszystkimi wybranymi cyframi jest podzielna przez 7. Udowodnij, że liczba jest podzielna przez 6.
Umiejętności (4)
Wymagane umiejętności:
Reszty z dzielenia
Podzielność
Zdobywane umiejętności:
Reszty z dzielenia
Techniki zliczania
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Warunek w zadaniu dotyczy *każdej* liczby, którą można ułożyć z wybranych cyfr. Rozważ dwie takie liczby, różniące się tylko zamianą miejscami dwóch sąsiednich cyfr. Co wiesz o ich różnicy?
Wskazówka 2
Zapisz algebraicznie różnicę tych liczb. Jest ona postaci dla pewnych cyfr i liczby niepodzielnej przez 7. Jaki wniosek płynie stąd dla cyfr i ?
Wskazówka 3
Wszystkie wybrane cyfry muszą dawać tę samą resztę z dzielenia przez 7. Zatem każda liczba utworzona z tych cyfr jest (modulo 7) krotnością liczby złożonej z jedynek. Co z tego wynika?
Wskazówka 4
Zbadaj, dla jakich liczba ( jedynek) jest podzielna przez 7. W tym celu znajdź najmniejszą dodatnią potęgę , dla której .