Zadanie 3

2023

Etap III

★★★★★

Algebra

Nierówność z iloczynem sum

Powiązane zadania:

Liczby rzeczywiste

a

b

c

spełniają warunki

a + b \neq 0

b + c \neq 0

oraz

c + a \neq 0

. Wykaż, że

\left( \frac{a^2 c}{a+b} + \frac{b^2 a}{b+c} + \frac{c^2 b}{c+a} \right) \cdot \left( \frac{b^2 c}{a+b} + \frac{c^2 a}{b+c} + \frac{a^2 b}{c+a} \right) \geqslant 0.

Wzory skróconego mnożenia

Nierówności

Układy równań symetrycznych

Nierówności

Wzory skróconego mnożenia

Wskazówka 1

Oznaczmy wyrażenia w nawiasach jako

X

Y

. Zwróć uwagę, że mają te same mianowniki, a ich liczniki są zbudowane w podobny, cykliczny sposób.

Wskazówka 2

Aby udowodnić, że iloczyn

X \cdot Y

jest nieujemny, warto zbadać, jaka jest algebraiczna zależność między

X

Y

Wskazówka 3

Najprostszym sposobem na porównanie dwóch wyrażeń jest zbadanie ich różnicy. Spróbuj obliczyć wartość

X-Y

, grupując składniki o tych samych mianownikach.

Wskazówka 4

Uprość każdy z członów różnicy

X-Y

(np.

\frac{a^2c - b^2c}{a+b}

). Po zsumowaniu uproszczonych wyrażeń otrzymasz zaskakująco prosty wynik. Co on oznacza dla iloczynu

X \cdot Y

Zaloguj się, aby przesłać swoje rozwiązanie