Zadanie 3

Mamy udowodnić, że iloczyn $(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)$ jest nieujemny. Zastanów się, jak można by wykorzystać podane równości $a+b=cd$ i $c+d=ab$ do uproszczenia tego iloczynu.

Zamiast wymnażać wszystkie cztery nawiasy naraz, spróbuj połączyć je w pary: $(a+1)(b+1)$ oraz $(c+1)(d+1)$. Wymnóż każdą parę osobno.

Po wymnożeniu par otrzymasz $ab+a+b+1$ oraz $cd+c+d+1$. Zastosuj dane w zadaniu równości do obu tych wyrażeń. Co zauważasz?

Okazuje się, że oba wyrażenia, $(a+1)(b+1)$ i $(c+1)(d+1)$, są równe tej samej wartości. Cały iloczyn jest więc kwadratem pewnego wyrażenia. Jaki to ma wpływ na jego znak?