Zadanie 1
2015
Etap I
★★☆☆☆Algebra
Teoria liczb
Równanie
Treść zadania
Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele trójek dodatnich liczb całkowitych spełniających równanie .
Umiejętności (3)
Wymagane umiejętności:
Wzory skróconego mnożenia
Zdobywane umiejętności:
Równania w liczbach całkowitych
Konstrukcja przykładu
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Rozwiń i uprość lewą stronę równania. Jakie wyrazy się redukują?
Wskazówka 2
Zapisz uproszczoną lewą stronę w postaci iloczynu. Otrzymasz równanie, w którym iloczyn dwóch wyrażeń jest równy 6.
Wskazówka 3
Zauważ, że oba czynniki iloczynu muszą być liczbami całkowitymi. Jakie pary liczb całkowitych dają w iloczynie 6? Pamiętaj, że musi być dodatnie.
Wskazówka 4
Wybierz jedną z otrzymanych par wartości dla czynników. Zapisz wynikające z tego wyboru równanie. Czy potrafisz znaleźć nieskończenie wiele dodatnich liczb całkowitych spełniających te warunki?