Zadanie 4

2017

Etap III

★★★★☆

Algebra

Układ równań

Powiązane zadania:

Liczby rzeczywiste

a

b

c

są różne od zera i spełniają układ równań

\begin{cases} a^2 + a = b^2 \\ b^2 + b = c^2 \\ c^2 + c = a^2 \end{cases}

Udowodnij, że

(a - b)(b - c)(c - a) = 1

Wzory skróconego mnożenia

Układy równań symetrycznych

Układy równań symetrycznych

Wzory skróconego mnożenia

Wskazówka 1

Układ równań jest cykliczny. Zamiast odejmować równania, spróbuj je wszystkie do siebie dodać stronami. Jaką prostą zależność między liczbami

a, b, c

można dzięki temu odkryć?

Wskazówka 2

Przekształć każde z wyjściowych równań, przenosząc jeden z kwadratów na drugą stronę, np. do postaci

a = b^2 - a^2

. Następnie zastosuj wzór na różnicę kwadratów.

Wskazówka 3

Wykorzystaj zależność między

a, b, c

znalezioną w pierwszym kroku (np.

a+b = -c

), aby uprościć wyrażenia otrzymane po zastosowaniu wzoru na różnicę kwadratów.

Wskazówka 4

Powinieneś otrzymać trzy nowe, znacznie prostsze równości. Pomnóż je przez siebie stronami, a następnie uprość wynik, pamiętając, że liczby

a, b, c

są różne od zera.

Zaloguj się, aby przesłać swoje rozwiązanie