Zadanie 4

Niech $P$ będzie punktem przecięcia symetralnych odcinków $BC$ i $EF$. Jaki warunek muszą spełniać punkty $A, P, D$, aby teza zadania była prawdziwa?

Własności punktu $P$ ($PB=PC$, $PE=PF$) sugerują użycie obrotów wokół niego. Rozważ obrót o środku w $P$ przeprowadzający $B$ na $C$. Co stanie się z trójkątem $\triangle PAB$? Podobnie, rozważ obrót przeprowadzający $E$ na $F$.

Niech $A'$ to obraz $A$ w obrocie wokół $P$ mapującym $B$ na $C$. Wykorzystaj równość kątów $\angle ABC = \angle BCD$, by pokazać, że $A'$ leży na prostej $CD$. Postąp analogicznie z obrazem punktu $D$.

Wykorzystaj warunek na długości boków, aby znaleźć związek między długościami odcinków $A'D$ i $AD'$ (gdzie $D'$ to odpowiedni obraz $D$). Dowiedź, że $\triangle PA'D \cong \triangle PAD'$. Jaka równość kątów wokół punktu $P$ z tego wynika?