Trener OMJ

Zadania

Nauka

Zadanie 3

2016
Etap III
★★★★★
Teoria liczb
Algebra
Kwadraty liczb całkowitych

Powiązane zadania:

Zad. 2 (2007)
Zad. 4 (2014)
Zad. 5 (2012)
Treść zadania
Dane są takie dodatnie liczby całkowite aa i bb, że każda z liczb aboraz(a+1)(b+1)ab \quad \text{oraz} \quad (a+1)(b+1) jest kwadratem liczby całkowitej. Udowodnij, że istnieje taka liczba całkowita n>1n > 1, dla której liczba (a+n)(b+n)(a+n)(b+n) jest kwadratem liczby całkowitej.
Zadania PDFRozwiązania PDF
Zgłoś błąd
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Równania w liczbach całkowitych
Wzory skróconego mnożenia
Konstrukcja przykładu
Zdobywane umiejętności:
Równania w liczbach całkowitych
Wzory skróconego mnożenia
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Zapisz warunki zadania w postaci równań: ab=k2ab=k^2 oraz (a+1)(b+1)=m2(a+1)(b+1)=m^2 dla pewnych dodatnich liczb całkowitych k,mk, m. Szukasz n>1n>1 takiego, że (a+n)(b+n)=s2(a+n)(b+n)=s^2 dla pewnej liczby ss.
Wskazówka 2
Rozważ wyrażenie (a+n)(b+n)=s2(a+n)(b+n)=s^2. Przekształć je, mnożąc obie strony przez 4, a następnie stosując wzór na różnicę kwadratów, aby doprowadzić je do postaci X2−Y2=Z2X^2-Y^2=Z^2.
Wskazówka 3
Twoje przekształcone równanie powinno mieć postać (2n+a+b)2−(a−b)2=(2s)2(2n+a+b)^2 - (a-b)^2 = (2s)^2. Oznacza to, że liczby (∣a−b∣,2s,2n+a+b)(|a-b|, 2s, 2n+a+b) tworzą trójkę pitagorejską.
Wskazówka 4
Zauważ, że dla n=0n=0 i n=1n=1 otrzymujemy trójki pitagorejskie (∣a−b∣,2k,a+b)(|a-b|, 2k, a+b) oraz (∣a−b∣,2m,a+b+2)(|a-b|, 2m, a+b+2). Poszukaj sposobu na skonstruowanie trzeciej trójki o tym samym pierwszym boku, co pozwoli wyznaczyć nowe nn.
Prześlij rozwiązanie

Zaloguj się, aby przesłać swoje rozwiązanie

Zaloguj się