Zadanie 4

Zauważ, że wyrażenie $a^2 + 2b + 1$ jest bardzo podobne do kwadratu liczby $a+1$. Jaka jest różnica między $a^2 + 2b + 1$ a $(a+1)^2$?

Wyrażenie $a^2 + 2b + 1$ jest na pewno większe od $a^2$. Jeśli ma być kwadratem, to musi być kwadratem liczby co najmniej $a+1$. Co by się stało, gdyby było ono mniejsze od $(a+1)^2$?

Rozważmy przypadki. Jeśli $a=b$, oba wyrażenia są kwadratami. Załóżmy, że $a \neq b$, na przykład $a > b$. Pokaż, że w tym przypadku zachodzi nierówność $a^2 < a^2 + 2b + 1 < (a+1)^2$.

Wykorzystaj założenie $a > b$, aby udowodnić nierówność z poprzedniej wskazówki. Jaki wniosek możesz wyciągnąć dla przypadku $b > a$, korzystając z symetrii problemu?