Zadanie 3

Warunek $a^2+b^2 \mid 4ab$ oznacza, że ułamek $\frac{4ab}{a^2+b^2}$ musi być dodatnią liczbą całkowitą. Oznaczmy tę liczbę przez $k$. Jakie wartości może przyjmować $k$?

Aby znaleźć możliwe wartości $k$, spróbuj oszacować wartość ułamka $\frac{4ab}{a^2+b^2}$ od góry. Czy potrafisz powiązać mianownik $a^2+b^2$ z wyrażeniem $ab$ z licznika za pomocą nierówności?

Pomyśl o znanej tożsamości algebraicznej $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Jak możesz wykorzystać fakt, że $(a-b)^2 \ge 0$, aby znaleźć związek między $a^2+b^2$ a $2ab$?

Używając nierówności z poprzedniego kroku, wykaż, że $k \le 2$. Skoro $k$ jest dodatnią liczbą całkowitą, jakie są jedyne możliwe wartości $k$? Sprawdź każdy przypadek, aby zobaczyć, który z nich prowadzi do wniosku $a=b$.