Trener OMJ

Zadania

Nauka

Zadanie 3

2014
Etap III
★★★★☆
Geometria
Czworokąt wypukły i pole trójkątów

Powiązane zadania:

Zad. 2 (2009)
Zad. 2 (2007)
Zad. 5 (2013)
Treść zadania
Dany jest czworokąt wypukły ABCDABCD, w którym
∢DAB+∢ABC=90∘.\sphericalangle DAB + \sphericalangle ABC = 90^\circ.
Punkt MM jest środkiem boku CDCD. Znając długości odcinków ADAD oraz BCBC, które wynoszą odpowiednio aa oraz bb, oblicz wartość wyrażenia [ABM]−[DAM]−[BCM][ABM] - [DAM] - [BCM].

*Uwaga.* Symbol [F][\mathcal{F}] oznacza pole figury F\mathcal{F}.
Zadania PDFRozwiązania PDF
Zgłoś błąd
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Metody polowe
Obliczanie kątów
Układ współrzędnych
Zdobywane umiejętności:
Metody polowe
Analiza przypadków
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Przedłuż boki DADA i CBCB aż do ich przecięcia w punkcie PP. Jaki jest kąt ∢APB\sphericalangle APB? Zauważ, że proste, na których leżą boki ADAD i BCBC, są prostopadłe.
Wskazówka 2
Zastanów się, jak fakt, że MM jest środkiem CDCD, pozwala powiązać pola trójkątów z wierzchołkiem MM z polami trójkątów o wierzchołkach CC i DD.
Wskazówka 3
Wykaż, że [ABM]=12([ABC]+[ABD])[ABM] = \frac{1}{2}([ABC]+[ABD]). Pomocne może być poprowadzenie wysokości z C,D,MC, D, M na prostą ABAB. Zauważ też, że [ADM]=12[ACD][ADM]=\frac{1}{2}[ACD] oraz [BCM]=12[BCD][BCM]=\frac{1}{2}[BCD].
Wskazówka 4
Podstaw uzyskane związki do szukanego wyrażenia. Oblicz pola trójkątów ABC,ABD,ACD,BCDABC, ABD, ACD, BCD, wykorzystując prostopadłość prostych PAPA i PBPB do znalezienia odpowiednich podstaw i wysokości.
Prześlij rozwiązanie

Zaloguj się, aby przesłać swoje rozwiązanie

Zaloguj się