Zadanie 2
2007
Etap I
★★★☆☆Geometria
Czworokąt z symetrycznymi punktami
Treść zadania
Dany jest czworokąt wypukły o polu . Punkt jest symetryczny do punktu względem punktu , punkt jest symetryczny do punktu względem punktu , punkt jest symetryczny do punktu względem punktu , punkt jest symetryczny do punktu względem punktu . Oblicz pole czworokąta .
Umiejętności (4)
Wymagane umiejętności:
Przekształcenia geometryczne
Metody polowe
Zdobywane umiejętności:
Przekształcenia geometryczne
Metody polowe
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Narysuj starannie figurę. Zauważ, że z definicji symetrii punkt jest środkiem odcinka , punkt jest środkiem itd. Jakie równości odcinków z tego wynikają?
Wskazówka 2
Pole czworokąta to suma pola i pól czterech trójkątów na zewnątrz. Spróbuj wyrazić pole każdego z tych zewnętrznych trójkątów za pomocą pól trójkątów, na które przekątne dzielą czworokąt .
Wskazówka 3
Skup się na jednym z zewnętrznych trójkątów, np. . Porównaj jego pole z polem . Jaką własność mają trójkąty o tej samej wysokości i podstawach leżących na jednej prostej?
Wskazówka 4
Pokaż, że pole jest równe polu . Następnie, korzystając z tego, że , porównaj pole z polem . Zastosuj podobne rozumowanie dla pozostałych trzech zewnętrznych trójkątów.