Zadanie 2

2007
Etap I
★★★☆☆
Geometria
Czworokąt ABCDABCD z symetrycznymi punktami
Treść zadania
Dany jest czworokąt wypukły ABCDABCD o polu 11. Punkt KK jest symetryczny do punktu BB względem punktu AA, punkt LL jest symetryczny do punktu CC względem punktu BB, punkt MM jest symetryczny do punktu DD względem punktu CC, punkt NN jest symetryczny do punktu AA względem punktu DD. Oblicz pole czworokąta KLMNKLMN.
Umiejętności (4)
Wymagane umiejętności:
Przekształcenia geometryczne
Metody polowe
Zdobywane umiejętności:
Przekształcenia geometryczne
Metody polowe
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Narysuj starannie figurę. Zauważ, że z definicji symetrii punkt AA jest środkiem odcinka KBKB, punkt BB jest środkiem LCLC itd. Jakie równości odcinków z tego wynikają?
Wskazówka 2
Pole czworokąta KLMNKLMN to suma pola ABCDABCD i pól czterech trójkątów na zewnątrz. Spróbuj wyrazić pole każdego z tych zewnętrznych trójkątów za pomocą pól trójkątów, na które przekątne dzielą czworokąt ABCDABCD.
Wskazówka 3
Skup się na jednym z zewnętrznych trójkątów, np. KBL\triangle KBL. Porównaj jego pole z polem ABC\triangle ABC. Jaką własność mają trójkąty o tej samej wysokości i podstawach leżących na jednej prostej?
Wskazówka 4
Pokaż, że pole ABC\triangle ABC jest równe polu ABL\triangle ABL. Następnie, korzystając z tego, że KB=2ABKB = 2 \cdot AB, porównaj pole KBL\triangle KBL z polem ABL\triangle ABL. Zastosuj podobne rozumowanie dla pozostałych trzech zewnętrznych trójkątów.
Prześlij rozwiązanie

Zaloguj się, aby przesłać swoje rozwiązanie

Zaloguj się