Zadanie 5
2013
Etap III
★★★★☆Kombinatoryka
Geometria
Wielościan wypukły
Treść zadania
Czy istnieje taki wielościan wypukły, że w każdym jego wierzchołku schodzą się co najmniej cztery krawędzie i który można przeciąć pewną płaszczyzną, otrzymując w przekroju trójkąt? Odpowiedź uzasadnij.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Wielościany
Podwójne zliczanie
Dowód nie wprost
Zdobywane umiejętności:
Wielościany
Podwójne zliczanie
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Pytanie brzmi 'Czy istnieje...'. Oznacza to, że wystarczy znaleźć jeden przykład wielościanu spełniającego warunki, aby odpowiedzieć twierdząco. Zastanówmy się, jak mógłby wyglądać.
Wskazówka 2
Jak w najprostszy sposób można uzyskać przekrój będący trójkątem? Rozważmy sytuację, w której płaszczyzna tnąca zawiera jedną ze ścian wielościanu. Co to mówi o kształcie tej ściany?
Wskazówka 3
Zatem szukamy wielościanu wypukłego, który ma trójkątne ściany i w każdym wierzchołku spotykają się co najmniej cztery krawędzie. Czy znasz taką bryłę?
Wskazówka 4
Spróbuj zbudować taki wielościan. Pomyśl o dwóch identycznych ostrosłupach o podstawie kwadratowej. Co otrzymasz, jeśli skleisz je podstawami? Sprawdź, czy otrzymana bryła spełnia wszystkie warunki zadania.