Treść zadania
Czy istnieje taki wielościan wypukły, który ma nieparzystą liczbę ścian i w którego każdym wierzchołku schodzi się parzysta liczba krawędzi? Odpowiedź uzasadnij.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Wielościany
Podwójne zliczanie
Parzystość i nieparzystość
Zdobywane umiejętności:
Podwójne zliczanie
Parzystość i nieparzystość
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Rozważ graf wielościanu. Założenie o parzystej liczbie krawędzi w każdym wierzchołku ma ważną konsekwencję: ściany wielościanu można pokolorować dwoma kolorami (np. białym i czarnym) tak, aby żadne dwie sąsiednie ściany nie miały tego samego koloru.
Wskazówka 2
Niech to liczba ścian czarnych, a to liczba białych. Co wynika z faktu, że całkowita liczba ścian jest nieparzysta? Jaka jest parzystość i ?
Wskazówka 3
Policz sumę liczby krawędzi wszystkich białych ścian. Zauważ, że każda krawędź wielościanu rozdziela dokładnie jedną ścianę białą od jednej czarnej. Jak ta suma ma się do całkowitej liczby krawędzi ?
Wskazówka 4
Zrób to samo dla ścian czarnych. Otrzymasz dwie sumy, obie równe . Jedna z tych sum ma parzystą liczbę składników, a druga nieparzystą. Zbadaj parzystość obu sum, aby znaleźć sprzeczność.