Zadanie 5
2011
Etap III
★★★★☆Geometria
Kombinatoryka
Kwadrat na czworościanie
Treść zadania
Czy na powierzchni każdego czworościanu można wskazać takie cztery punkty, które są wierzchołkami kwadratu i z których żadne dwa nie leżą na jednej ścianie tego czworościanu? Odpowiedź uzasadnij.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Konstrukcja przykładu
Analiza przypadków
Zdobywane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Konstrukcja przykładu
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Zadanie pyta, czy warunek jest spełniony dla *każdego* czworościanu. Aby odpowiedzieć 'nie', wystarczy znaleźć jeden czworościan, dla którego jest to niemożliwe.
Wskazówka 2
Spróbuj znaleźć kontrprzykład. Rozważ czworościan o nietypowych, 'ekstremalnych' wymiarach – na przykład bardzo płaski, którego podstawa jest długim i wąskim trójkątem.
Wskazówka 3
Jeżeli czworościan jest bardzo płaski, to cały kwadrat musi leżeć w bardzo cienkiej przestrzeni. Co to mówi o jego położeniu względem podstawy i o kształcie jego rzutu na płaszczyznę podstawy?
Wskazówka 4
Rzut kwadratu na podstawę jest niemal kwadratem i musi się zmieścić w jej wąskim obrysie. To oznacza, że bok kwadratu musi być bardzo mały. Czy wierzchołki tak małego obiektu mogą znaleźć się na czterech różnych ścianach, które są od siebie oddalone?