Zadanie 6

Przekrój czworokątny powstaje, gdy płaszczyzna przecina cztery krawędzie czworościanu. Jego obwód to zamknięta łamana na powierzchni. Długość takiej łamanej najłatwiej jest mierzyć na siatce czworościanu.

Rozważ czworokąt o wierzchołkach $P,Q,R,S$ na krawędziach $AB, AC, CD, BD$. Podziel jego obwód na dwie części: $(PQ+QR)$ oraz $(RS+SP)$. Długość każdej z tych części jest najkrótsza, gdy na odpowiedniej siatce jest odcinkiem.

Rozwiń ściany $ABC$ i $ACD$ wzdłuż krawędzi $AC$, tworząc romb. Długość łamanej $PQR$ to odległość $PR$ na tej siatce. Podobnie, rozwiń ściany $ABD$ i $BCD$ wzdłuż krawędzi $BD$ dla łamanej $PSR$.

Oznacz $s = AP+CR$. Wyraź kwadraty odległości $PR$ na obu siatkach w zależności od $s$. Zauważysz, że obie odległości są równe i zależą od $s$ w prosty sposób. Znajdź najmniejszą wartość sumy tych odległości.