Zadanie 6
2006
Etap I
★★★☆☆Geometria
Logika
Czworościan z trójkątem rozwartokątnym
Treść zadania
Czy istnieje taki czworościan, w którym co najmniej jedna ściana jest trójkątem rozwartokątnym, a środek sfery opisanej na tym czworościanie leży w jego wnętrzu? Odpowiedź uzasadnij.
Umiejętności (3)
Wymagane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Konstrukcja przykładu
Zdobywane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Przypomnij sobie, gdzie względem trójkąta rozwartokątnego leży środek opisanego na nim okręgu.
Wskazówka 2
Zauważ, że środek sfery opisanej na czworościanie rzutuje się prostopadle na płaszczyznę dowolnej ściany dokładnie w środek okręgu opisanego na tej ścianie.
Wskazówka 3
Co warunek 'środek sfery leży w jego wnętrzu' mówi nam o położeniu rzutu tego środka na płaszczyznę ściany rozwartokątnej?
Wskazówka 4
Zestaw ze sobą wszystkie fakty. Czy położenie środka okręgu opisanego na trójkącie rozwartokątnym nie jest sprzeczne z tym, gdzie musiałby się on znaleźć jako rzut wewnętrznego punktu czworościanu?