Trener OMJ

Zadania

Nauka

Zadanie 3

2009
Etap III
★★★★★
Geometria
Trójkąt równoboczny DEFDEF

Powiązane zadania:

Zad. 2 (2007)
Zad. 2 (2014)
Zad. 3 (2005)
Treść zadania
Punkt PP leży wewnątrz trójkąta ABCABC. Punkty DD, EE, FF to punkty symetryczne do punktu PP odpowiednio względem prostych BCBC, CACA, ABAB. Wykaż, że jeśli trójkąt DEFDEF jest równoboczny, to proste ADAD, BEBE i CFCF przecinają się w jednym punkcie.
Zadania PDFRozwiązania PDF
Zgłoś błąd
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Przekształcenia geometryczne
Punkty szczególne trójkąta
Metody polowe
Zdobywane umiejętności:
Przekształcenia geometryczne
Punkty szczególne trójkąta
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Narysuj rzuty prostopadłe Pa,Pb,PcP_a, P_b, P_c punktu PP na proste BC,CA,ABBC, CA, AB. Jaki jest związek między trójkątem DEFDEF a trójkątem PaPbPcP_aP_bP_c?
Wskazówka 2
Wykaż, że △DEF\triangle DEF jest równoboczny wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt rzutów PaPbPcP_aP_bP_c jest równoboczny. Długość boku PbPcP_bP_c zależy od długości APAP i miary kąta ∠BAC\angle BAC. Jak? Wskazówka: punkty A,Pc,P,PbA, P_c, P, P_b leżą na jednym okręgu.
Wskazówka 3
Z warunku równoboczności △PaPbPc\triangle P_aP_bP_c wyprowadź zależność AP⋅sin⁡A=BP⋅sin⁡B=CP⋅sin⁡CAP \cdot \sin A = BP \cdot \sin B = CP \cdot \sin C. Użyj twierdzenia sinusów dla △ABC\triangle ABC, by pokazać, że to oznacza AP⋅BC=BP⋅CA=CP⋅ABAP \cdot BC = BP \cdot CA = CP \cdot AB.
Wskazówka 4
Aby wykazać współpędowość, udowodnij, że prosta ADAD jest symetryczna do APAP względem dwusiecznej kąta ∠A\angle A (i analogicznie dla pozostałych wierzchołków). Jest to równoważne pokazaniu, że ∠PAB=∠DAC\angle PAB = \angle DAC.
Prześlij rozwiązanie

Zaloguj się, aby przesłać swoje rozwiązanie

Zaloguj się