Zadanie 5
2007
Etap III
★★★★★Geometria
Przekrój ostrosłupa prawidłowego
Treść zadania
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego każda krawędź ma długość 1. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przecinającą jego wszystkie krawędzie boczne i uzyskano w przekroju czworokąt wypukły nie będący trapezem. Proste i przecinają się w punkcie . Wyznacz wszystkie wartości, jakie może przyjąć odległość punktu od płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Twierdzenie Pitagorasa
Trapezy i równoległoboki
Zdobywane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Analiza przypadków
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Narysuj ostrosłup. Punkt jest przecięciem prostych i . Zauważ, że prosta leży w płaszczyźnie jednej ze ścian bocznych. W płaszczyźnie której ściany leży prosta ?
Wskazówka 2
Skoro punkt leży na obu prostych, to musi należeć do obu płaszczyzn ścian bocznych. Co jest częścią wspólną (przecięciem) tych dwóch płaszczyzn?
Wskazówka 3
Przecięciem tych płaszczyzn jest prosta. Zauważ, że wierzchołek należy do obu płaszczyzn. Jaki kierunek ma ta prosta, jeśli wiemy, że krawędzie podstawy w tych płaszczyznach są do siebie równoległe?
Wskazówka 4
Prosta, na której leży punkt , przechodzi przez wierzchołek i jest równoległa do podstawy. Jaka jest więc odległość dowolnego punktu tej prostej od płaszczyzny podstawy? Oblicz tę wartość.