Zadanie 5
2008
Etap II
★★★★☆Geometria
Ostrosłup sześciokątny i przekrój
Treść zadania
Ostrosłup prawidłowy sześciokątny przecięto płaszczyzną, która przecina wszystkie jego krawędzie boczne. W przekroju otrzymano sześciokąt wypukły . Wykaż, że proste , i przecinają się w jednym punkcie.
Umiejętności (4)
Wymagane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Przekształcenia geometryczne
Zdobywane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Przekształcenia geometryczne
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Przypomnij sobie własność sześciokąta foremnego w podstawie: jego główne przekątne przecinają się w jednym punkcie (środku podstawy). Jaka ważna prosta łączy ten środek z wierzchołkiem ostrosłupa?
Wskazówka 2
Rozważ płaszczyznę wyznaczoną przez wierzchołek ostrosłupa i dwie przeciwległe krawędzie boczne (np. te zawierające punkty i ). Zauważ, że wysokość ostrosłupa leży w tej płaszczyźnie.
Wskazówka 3
Zwróć uwagę, że prosta leży całkowicie w opisanej wyżej płaszczyźnie. Co to oznacza dla wzajemnego położenia prostej i wysokości ostrosłupa?
Wskazówka 4
Zauważ, że każda z prostych , i leży w płaszczyźnie przekroju i każda z nich przecina wysokość ostrosłupa. Wywnioskuj stąd, gdzie musi znajdować się ich punkt przecięcia.