Zadanie 5
2006
Etap III
★★★★☆Geometria
Kombinatoryka
Ostrosłup czworokątny
Treść zadania
Czy istnieje taki ostrosłup czworokątny, którego każda ściana boczna jest trójkątem prostokątnym? Odpowiedź uzasadnij.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Analiza przypadków
Twierdzenie Pitagorasa
Zdobywane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Konstrukcja przykładu
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Zastanów się, gdzie w każdym trójkącie bocznym może znajdować się kąt prosty. Jakie są możliwości: przy wierzchołku ostrosłupa czy przy jednym z wierzchołków podstawy?
Wskazówka 2
Rozważmy sytuację, w której kąty proste znajdują się przy wierzchołkach podstawy. Co by się stało, gdyby w dwóch sąsiednich ścianach bocznych kąt prosty był przy tym samym wierzchołku podstawy?
Wskazówka 3
Jeśli w kąt prosty jest przy wierzchołku A, a w również przy A, to krawędź boczna SA jest prostopadła do dwóch krawędzi podstawy. Co to oznacza dla położenia krawędzi SA względem całej podstawy?
Wskazówka 4
Załóżmy, że krawędź SA jest wysokością ostrosłupa. Dwie ściany boczne są już trójkątami prostokątnymi. Jaki warunek musi spełniać podstawa ABCD, aby pozostałe dwie ściany również były prostokątne?