Treść zadania
Liczbę całkowitą nazwiemy *olimpijską*, jeśli można ją uzyskać z liczby w wyniku wykonania pewnej liczby operacji polegających na zwiększeniu liczby o jej cyfrę jedności. Początkowymi liczbami olimpijskimi są więc
Wykaż, że kwadrat liczby olimpijskiej jest liczbą olimpijską.
Wykaż, że kwadrat liczby olimpijskiej jest liczbą olimpijską.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Indukcja matematyczna
Zabawy z cyframi
Niezmienniki
Zdobywane umiejętności:
Indukcja matematyczna
Ciągi liczbowe
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Dowód najłatwiej przeprowadzić indukcyjnie. Załóż, że jest liczbą olimpijską i też. Jeśli jest cyfrą jedności , musisz pokazać, że z da się dojść do .
Wskazówka 2
Zbadaj, jakie mogą być cyfry jedności liczb olimpijskich. Wypisz kilkanaście pierwszych takich liczb i zobacz, czy jest jakaś reguła. To bardzo uprości dalsze rozumowanie.
Wskazówka 3
Startując od , tworzymy kolejne liczby, dodając do nich ich cyfry jedności. Zbadaj ciąg samych cyfr jedności tych liczb. Jaka jest zależność między kolejnymi wyrazami tego ciągu? Czy staje się on okresowy?
Wskazówka 4
Suma, którą trzeba dodać do , to . Wiesz już, że dodawane cyfry tworzą okresowy ciąg o sumie 20 w jednym cyklu. Pokaż, że można uzyskać, sumując wielokrotność 20 i sumę kilku początkowych wyrazów tego ciągu.