Zadanie 2
2022
Etap II
★★★☆☆Teoria liczb
Kombinatoryka
Liczby i na tablicy
Treść zadania
Początkowo na tablicy napisane są liczby oraz . Ruch polega na zastąpieniu jednej z dwóch liczb napisanych na tablicy ich sumą. Czy po wykonaniu pewnej liczby ruchów można uzyskać sytuację, w której na tablicy napisane są dwie kolejne liczby naturalne? Odpowiedź uzasadnij.
Umiejętności (4)
Wymagane umiejętności:
Niezmienniki
Reszty z dzielenia
Zdobywane umiejętności:
Niezmienniki
Reszty z dzielenia
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Wypisz kilka pierwszych par liczb, które można uzyskać z pary . Oblicz różnicę liczb w każdej z otrzymanych par.
Wskazówka 2
Aby liczby były kolejne, ich różnica musi wynosić . Zastanów się, jak różnica liczb w nowym kroku zależy od liczb, które były na tablicy w poprzednim kroku.
Wskazówka 3
Jeśli na tablicy są liczby i , w kolejnym kroku otrzymamy parę lub . Wyznacz różnicę liczb w obu przypadkach.
Wskazówka 4
Zauważ, że nowa różnica jest zawsze równa jednej z liczb z poprzedniego kroku. Czy biorąc pod uwagę liczby początkowe, na tablicy może kiedykolwiek pojawić się liczba ?