Trener OMJ

Zadania

Nauka

Zadanie 7

2024
Etap I
★★★☆☆
Geometria
Prostopadłościan z AC′=AB+ADAC' = AB + AD

Powiązane zadania:

Zad. 2 (2020)
Treść zadania
Dany jest prostopadłościan ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' o wierzchołkach oznaczonych jak na rysunku, w którym AC′=AB+ADAC' = AB + AD. Niech PP będzie takim punktem na odcinku AC′AC', że AP=ABAP = AB oraz C′P=ADC'P = AD. Udowodnij, że ∠BPB′=90∘\angle BPB' = 90^\circ.
Zadania PDFRozwiązania PDF
Zgłoś błąd
Umiejętności (3)
Wymagane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Twierdzenie Pitagorasa
Zdobywane umiejętności:
Twierdzenie Pitagorasa
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Oznacz krawędzie prostopadłościanu: a=ABa=AB, b=ADb=AD, c=AA′c=AA'. Wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa dla przekątnej prostopadłościanu i daną w zadaniu równość, aby znaleźć kluczowy związek między a,b,ca, b, c.
Wskazówka 2
Aby udowodnić, że ∠BPB′=90∘\angle BPB' = 90^\circ, najwygodniej jest skorzystać z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta △BPB′\triangle BPB'.
Wskazówka 3
Zauważ, że trójkąty △ABP\triangle ABP oraz △C′B′P\triangle C'B'P są równoramienne. Aby obliczyć długości ich podstaw, BPBP i B′PB'P, potrzebujesz miar kątów między ich ramionami.
Wskazówka 4
Wyznacz cosinusy kątów ∠BAC′\angle BAC' i ∠AC′B′\angle AC'B' korzystając z faktu, że trójkąty △ABC′\triangle ABC' i △AB′C′\triangle AB'C' są prostokątne. To pozwoli obliczyć kwadraty szukanych długości.
Prześlij rozwiązanie

Zaloguj się, aby przesłać swoje rozwiązanie

Zaloguj się