Zadanie 2

2023

Etap III

★★★★☆

Kombinatoryka

Teoria liczb

Rozcięcie kwadratu na części

1 \times 1

2 \times 2

Powiązane zadania:

Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą

n \geqslant 1

o tej własności, że kwadrat o wymiarach

n \times n

można rozciąć na kwadratowe części o wymiarach

1 \times 1

lub

2 \times 2

w taki sposób, aby uzyskać po tyle samo części każdego z tych dwóch rodzajów.

Podzielność

Pokrycia i parkietaże

Konstrukcja przykładu

Pokrycia i parkietaże

Podzielność

Wskazówka 1

Ile wynosi pole kwadratu o boku 1, a ile o boku 2? Jeśli mamy po

k

części każdego rodzaju, jakie jest łączne pole, które one pokrywają?

Wskazówka 2

Pole wszystkich części musi być równe polu kwadratu

n \times n

. Zapisz to jako równanie. Jaką własność podzielności musi mieć

n

, aby to równanie miało rozwiązanie?

Wskazówka 3

Sprawdź najmniejszą możliwą wartość

n

. Policz, ile jest na planszy komórek

(x,y)

, których obie współrzędne

x, y

są parzyste. Ile takich komórek pokrywa każdy kwadrat

2 \times 2

Wskazówka 4

Skoro najmniejszy kandydat okazał się niemożliwy, zbadaj następny. Spróbuj ułożyć wszystkie kwadraty

2 \times 2

tak, by utworzyły jeden duży prostokąt wewnątrz kwadratu

n \times n

Zaloguj się, aby przesłać swoje rozwiązanie