Zadanie 6
2022
Etap I
★★★☆☆Kombinatoryka
Logika
Kwadrat o boku z plusami i minusami
Treść zadania
*Plusem* nazwiemy przedstawioną na rysunku figurę złożoną z pięciu kwadratów o boku 1, a *minusem* — każdy prostokąt złożony z dwóch takich kwadratów. Czy istnieje liczba nieparzysta o tej własności, że kwadrat o boku można rozciąć na plusy i minusy? Odpowiedź uzasadnij.
Umiejętności (4)
Wymagane umiejętności:
Pokrycia i parkietaże
Parzystość i nieparzystość
Zdobywane umiejętności:
Pokrycia i parkietaże
Niezmienniki
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Oblicz pole plusa i minusa. Zastanów się, jakie pole ma kwadrat o boku dla nieparzystego i czy można je uzyskać, sumując pola plusów i minusów.
Wskazówka 2
Samo sprawdzenie podzielności pola nie wystarczy. Poszukaj niezmiennika — spróbuj pokolorować kwadrat w specjalny sposób i zbadaj, ile pól każdego koloru pokrywa plus, a ile minus.
Wskazówka 3
Użyj kolorowania szachownicowego. Policz, ile jest czarnych i białych pól w kwadracie dla nieparzystego . Ile pól każdego koloru pokrywa minus? A ile plus, w zależności od położenia jego środka?
Wskazówka 4
Minus zawsze pokrywa jedno pole białe i jedno czarne. Plus, w zależności od koloru swojego środka, pokrywa 1 pole jednego koloru i 4 pola drugiego. Sprawdź, czy da się zbilansować liczbę pokrytych pól obu kolorów.