Zadanie 7
2023
Etap I
★★★☆☆Kombinatoryka
Logika
Diagram z liczbami od 11 do 29
Powiązane zadania:
Zad. 4 (2021)
Treść zadania
Czy w pola diagramu przedstawionego na rysunku obok można wpisać liczby całkowite od 11 do 29, każdą dokładnie raz, w taki sposób aby sumy liczb na wszystkich piętnastu odcinkach oznaczonych strzałkami były równe? Odpowiedź uzasadnij.
Umiejętności (6)
Wymagane umiejętności:
Podwójne zliczanie
Parzystość i nieparzystość
Ciągi liczbowe
Zdobywane umiejętności:
Podwójne zliczanie
Parzystość i nieparzystość
Dowód nie wprost
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Oblicz sumę wszystkich liczb, które należy wpisać w diagram (od 11 do 29). Wiedząc, że w każdym z trzech kierunków jest 5 linii pokrywających wszystkie pola, oblicz wymaganą sumę liczb na jednej linii.
Wskazówka 2
Skup się na trzech najdłuższych liniach (przekątnych), które przecinają się w środkowym polu. Jaka musiałaby być łączna suma liczb na tych trzech liniach, biorąc pod uwagę wynik z poprzedniej wskazówki?
Wskazówka 3
Zauważ, że te trzy linie składają się łącznie z 13 pól, przy czym pole środkowe jest uwzględnione w sumie aż trzy razy. Zapisz wyrażenie na tę sumę jako: 'suma 13 różnych liczb' plus 'podwojona liczba ze środka'.
Wskazówka 4
Sprawdź, czy uzyskanie wymaganej sumy jest w ogóle możliwe. Oszacuj najmniejszą możliwą wartość tego wyrażenia, wstawiając w nie najmniejsze dostępne liczby (od 11 w górę) i porównaj wynik z obliczoną wcześniej sumą przekątnych.