Zadanie 4
2021
Etap I
★★★☆☆Teoria liczb
Kombinatoryka
Logika
Tabela z liczbami od 1 do 17
Treść zadania
W każde pole poniższej tabeli należy wpisać inną liczbę całkowitą spośród liczb od 1 do 17 w taki sposób, aby sumy liczb we wszystkich ośmiu kolumnach były równe, a suma liczb w górnym wierszu była dwa razy większa od sumy liczb w dolnym wierszu.
Której z liczb od 1 do 17 można nie wpisać do tabeli? Podaj wszystkie takie liczby. Odpowiedź uzasadnij.
Której z liczb od 1 do 17 można nie wpisać do tabeli? Podaj wszystkie takie liczby. Odpowiedź uzasadnij.
Umiejętności (4)
Wymagane umiejętności:
Podzielność
Parzystość i nieparzystość
Zdobywane umiejętności:
Analiza przypadków
Techniki zliczania
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Oblicz sumę wszystkich liczb od 1 do 17. Zastanów się, jak suma 16 liczb wpisanych do tabeli zależy od wartości pominiętej liczby.
Wskazówka 2
Wykorzystaj warunki dotyczące sum w wierszach i w kolumnach, aby zapisać sumę wszystkich 16 liczb w tabeli na dwa różne sposoby.
Wskazówka 3
Z zależności, które zapisałeś, wynikają dwa warunki podzielności dla sumy liczb w tabeli. Jaki jest ostateczny warunek podzielności, który musi spełniać ta suma?
Wskazówka 4
Gdy ustalisz, która liczba musi zostać pominięta, uzasadnij, że odpowiednie wypełnienie tabeli istnieje. Oblicz wymaganą sumę w każdej kolumnie i spróbuj dobrać pozostałe 16 liczb w pary o takiej właśnie sumie.