Zadanie 2
2022
Etap III
★★★★☆Teoria liczb
Suma a potęga dwójki
Treść zadania
Dane są liczby całkowite i , przy czym oraz liczba jest największym z tych dzielników liczby , które są różne od . Udowodnij, że liczba nie jest potęgą liczby o wykładniku całkowitym.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Rozkład na czynniki pierwsze
Podzielność
Analiza przypadków
Zdobywane umiejętności:
Rozkład na czynniki pierwsze
Podzielność
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Największy dzielnik liczby (różny od ) jest powiązany z jej najmniejszym dzielnikiem pierwszym. Spróbuj znaleźć tę zależność.
Wskazówka 2
Oznacz najmniejszy dzielnik pierwszy liczby przez . Wykorzystaj znalezioną zależność, aby przedstawić sumę w postaci iloczynu.
Wskazówka 3
Załóż nie wprost, że suma jest potęgą dwójki. Co wynika z tego dla czynników iloczynu z poprzedniego kroku? Jaką liczbą musi być w szczególności ?
Wskazówka 4
Rozważ dwa przypadki w zależności od parzystości . Jeśli , zbadaj sumę . Jeśli jest nieparzyste, zastanów się, jaka jest parzystość liczby i poszukaj sprzeczności.