Zadanie 2

2022
Etap III
★★★★
Teoria liczb
Suma a+ba + b a potęga dwójki

Powiązane zadania:

Zad. 2 (2010)
Zad. 4 (2011)
Treść zadania
Dane są liczby całkowite aa i bb, przy czym a>b>1a > b > 1 oraz liczba bb jest największym z tych dzielników liczby aa, które są różne od aa. Udowodnij, że liczba a+ba + b nie jest potęgą liczby 22 o wykładniku całkowitym.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Rozkład na czynniki pierwsze
Podzielność
Analiza przypadków
Zdobywane umiejętności:
Rozkład na czynniki pierwsze
Podzielność
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Największy dzielnik liczby aa (różny od aa) jest powiązany z jej najmniejszym dzielnikiem pierwszym. Spróbuj znaleźć tę zależność.
Wskazówka 2
Oznacz najmniejszy dzielnik pierwszy liczby aa przez pp. Wykorzystaj znalezioną zależność, aby przedstawić sumę a+ba+b w postaci iloczynu.
Wskazówka 3
Załóż nie wprost, że suma a+ba+b jest potęgą dwójki. Co wynika z tego dla czynników iloczynu z poprzedniego kroku? Jaką liczbą musi być w szczególności p+1p+1?
Wskazówka 4
Rozważ dwa przypadki w zależności od parzystości pp. Jeśli p=2p=2, zbadaj sumę a+ba+b. Jeśli pp jest nieparzyste, zastanów się, jaka jest parzystość liczby bb i poszukaj sprzeczności.
Prześlij rozwiązanie

Zaloguj się, aby przesłać swoje rozwiązanie

Zaloguj się