Zadanie 5
2020
Etap III
★★★★☆Teoria liczb
Suma liczb o tych samych cyfrach
Treść zadania
Dane są liczby naturalne , , które w zapisie dziesiętnym są zapisane takimi samymi cyframi (tzn. każda z cyfr od 0 do 9 występuje tyle samo razy w zapisie co w zapisie ). Wykaż, że jeżeli , to liczby i są podzielne przez 10.
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Reszty z dzielenia
Zabawy z cyframi
Podzielność
Zdobywane umiejętności:
Reszty z dzielenia
Zabawy z cyframi
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Aby wykazać, że liczba jest podzielna przez 10, trzeba udowodnić, że jej cyfra jedności to 0. Co wynika z faktu, że cyfra jedności sumy jest zerem?
Wskazówka 2
Załóżmy nie wprost, że i nie są podzielne przez 10. Oznacza to, że ich cyfry jedności są niezerowe. Rozważ pisemne dodawanie i przeanalizuj przeniesienia między kolejnymi pozycjami.
Wskazówka 3
Jeśli suma cyfr jedności wynosi 10, to do rzędu dziesiątek jest przeniesienie 1. Jaka musi być wtedy suma cyfr dziesiątek, skoro w wyniku cyfra dziesiątek jest zerem? Ustal, jaka jest suma par cyfr na każdej pozycji.
Wskazówka 4
Liczby i składają się z tych samych cyfr, więc suma ich cyfr jest równa. Porównaj ten fakt z sumą wszystkich par cyfr () obliczoną w poprzednim kroku, aby znaleźć sprzeczność.