Zadanie 6

2019

Etap I

★★★☆☆

Teoria liczb

Suma

a + b + c = 10^{1001}

Treść zadania

Dane są liczby naturalne

a

b

c

, które w zapisie dziesiętnym są zapisane takimi samymi cyframi (tzn. każda cyfra liczby

a

występuje w jej zapisie dziesiętnym tyle samo razy co w zapisie każdej z liczb

b

c

). Czy jest możliwe, aby

a + b + c = 10^{1001}

? Odpowiedź uzasadnij.

Zadania PDF Rozwiązania PDF

Zgłoś błąd

Umiejętności (6)

Wymagane umiejętności:

Zabawy z cyframi

Reszty z dzielenia

Podzielność

Zdobywane umiejętności:

Zabawy z cyframi

Reszty z dzielenia

Dowód nie wprost

Wskazówki (0/4)

Wskazówka 1

Zastanów się, co łączy liczby mające te same cyfry w różnej kolejności. Jaka własność arytmetyczna jest zachowana przy permutacji cyfr liczby?

Wskazówka 2

Przypomnij sobie cechę podzielności przez 9 - suma cyfr liczby daje tę samą resztę z dzielenia przez 9 co sama liczba. Zbadaj reszty z dzielenia przez 9.

Wskazówka 3

Skoro

a

b

c

mają te same cyfry, to każda z nich daje tę samą resztę z dzielenia przez 9. Oznacz tę resztę przez

r

i zapisz, jaką resztę daje suma

a + b + c

Wskazówka 4

Oblicz resztę z dzielenia

10^{1001}

przez 9 (skorzystaj z tego, że

10 \equiv 1 \pmod{9}

). Sprawdź, czy istnieje liczba

r \in \{0, 1, ..., 8\}

taka, że

3r

daje tę resztę.

Prześlij rozwiązanie

Zaloguj się, aby przesłać swoje rozwiązanie

Zaloguj się