Zadanie 4
2007
Etap I
★★★☆☆Teoria liczb
Algebra
Liczba ośmiocyfrowa podzielna przez
Powiązane zadania:
Zad. 1 (2006)
Treść zadania
Dana jest liczba ośmiocyfrowa . Liczba ośmiocyfrowa powstaje z liczby poprzez przestawienie cyfry jedności liczby na początek. Wykaż, że jeśli liczba jest podzielna przez , to liczba jest także podzielna przez .
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Reszty z dzielenia
Zabawy z cyframi
Wzory skróconego mnożenia
Zdobywane umiejętności:
Reszty z dzielenia
Zabawy z cyframi
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Zapisz liczbę w postaci , gdzie jest jej cyfrą jedności, a to liczba utworzona z pozostałych siedmiu cyfr. Jak, używając i , zapisać liczbę ?
Wskazówka 2
Otrzymałeś dwa wyrażenia, na i na , które zależą od . Spróbuj znaleźć między nimi związek (nowe równanie), w którym nie występuje.
Wskazówka 3
Zauważ, że w jednym wyrażeniu występuje , a w drugim . Pomnóż jedno z wyrażeń przez odpowiednią liczbę, aby móc usunąć przez odjęcie stronami.
Wskazówka 4
Otrzymane równanie wiąże i poprzez wyrażenie z dużą potęgą dziesiątki. Wykaż, że to wyrażenie jest podzielne przez 101. Pomocna będzie obserwacja, że daje resztę przy dzieleniu przez 101.