Zadanie 7
2019
Etap I
★★★☆☆Geometria
Algebra
Graniastosłup prosty z rombem - przekrój kwadratowy
Powiązane zadania:
Zad. 7 (2017)
Treść zadania
Dany jest graniastosłup prosty, którego podstawą jest romb o boku długości i kącie ostrym . Graniastosłup ten przecięto płaszczyzną, przecinając jego krawędzie boczne i uzyskując w przekroju kwadrat. Wyznacz wszystkie możliwe wartości, jakie może przyjąć długość boku tego kwadratu.
Umiejętności (6)
Wymagane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Twierdzenie Pitagorasa
Trapezy i równoległoboki
Zdobywane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Układ współrzędnych
Wzory skróconego mnożenia
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Narysuj podstawę graniastosłupa – romb o boku i kącie . Jakie są długości jego przekątnych? Pomyśl, jak płaszczyzna może przeciąć graniastosłup, aby powstał kwadratowy przekrój.
Wskazówka 2
Rozważ dwa główne rodzaje położenia płaszczyzny tnącej. Może być ona prostopadła do podstawy (pionowa) lub nachylona względem niej. Zbadaj oba przypadki.
Wskazówka 3
Jeśli płaszczyzna jest pionowa, przekrój jest prostokątem. Aby był to kwadrat, jego wysokość musi być równa długości boku leżącego w podstawie. Jakie szczególne odcinki w rombie mogą być takimi bokami?
Wskazówka 4
Jeśli płaszczyzna jest nachylona, wierzchołki kwadratu leżą na czterech krawędziach. Aby jego przekątne były prostopadłe, jedna para przeciwległych wierzchołków musi leżeć na tej samej wysokości. Wykorzystaj tę własność i twierdzenie Pitagorasa.