Zadanie 7
2017
Etap I
★★★☆☆Geometria
Prostopadłościan przecięty płaszczyzną
Powiązane zadania:
Zad. 6 (2016)
Treść zadania
Kwadrat o boku 4 jest podstawą prostopadłościanu . Krawędzie boczne , , , tego prostopadłościanu mają długość 7. Punkty , , leżą odpowiednio na odcinkach , , , przy czym , , . Płaszczyzna przechodząca przez punkty , , rozcina prostopadłościan na dwie bryły. Wyznacz objętości obu tych brył.
Umiejętności (3)
Wymagane umiejętności:
Geometria przestrzenna
Układ współrzędnych
Zdobywane umiejętności:
Metody polowe
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Narysuj prostopadłościan i punkt na krawędzi . Pamiętaj, że płaszczyzna przecina równoległe ściany bryły wzdłuż odcinków równoległych, więc czworokąt jest równoległobokiem.
Wskazówka 2
Zauważ, że środek symetrii przekroju leży dokładnie nad środkiem podstawy . Jaka jest zależność między sumami długości przeciwległych krawędzi bocznych: oraz ?
Wskazówka 3
Zastanów się nad wysokością bryły w punkcie będącym środkiem podstawy. Zauważ, że jest ona średnią arytmetyczną długości wszystkich krawędzi bocznych ().
Wskazówka 4
Skorzystaj z faktu, że objętość takiej bryły jest równa objętości prostopadłościanu o tej samej podstawie i wysokości równej obliczonej średniej (zasada 'wyrównywania' poziomu).