Zadanie 3

2018

Etap I

★★★☆☆

Algebra

Teoria liczb

Warunek

\frac{a}{b+c^2} = \frac{a+c^2}{b}

Powiązane zadania:

Liczby całkowite

a

b

c

są różne od

0

i spełniają zależność

\frac{a}{b+c^2} = \frac{a+c^2}{b}.

Wykaż, że

a + b + c \leq 0

Wzory skróconego mnożenia

Nierówności

Wzory skróconego mnożenia

Nierówności

Podzielność

Wskazówka 1

Równanie zawiera dwa ułamki. Dobrym pierwszym krokiem jest pozbycie się mianowników. Jak możesz przekształcić to równanie, aby nie zawierało ułamków?

Wskazówka 2

Po wymnożeniu na krzyż uprość otrzymane wyrażenie. Pogrupuj wyrazy i poszukaj wspólnego czynnika, który można wyłączyć przed nawias, pamiętając, że

c \neq 0

Wskazówka 3

Uproszczone równanie powinno dać ci prostą zależność między sumą

a+b

a wyrażeniem

c^2

. Wykorzystaj tę zależność, aby wyrazić sumę

a+b+c

tylko za pomocą zmiennej

c

Wskazówka 4

Pozostaje wykazać, że otrzymane wyrażenie ze zmienną

c

jest zawsze niedodatnie. Pamiętaj, że

c

jest liczbą całkowitą różną od zera. Przekształć nierówność do postaci iloczynowej.

Zaloguj się, aby przesłać swoje rozwiązanie