Zadanie 2
2016
Etap III
★★★★☆Geometria
Algebra
Punkt na boku i odcinku w trójkącie
Treść zadania
Punkt leży na boku trójkąta . Punkt leży na odcinku . Wykaż, że jeżeli suma pól trójkątów i jest równa połowie pola trójkąta , to punkt jest środkiem boku lub punkt jest środkiem odcinka .
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Metody polowe
Wzory skróconego mnożenia
Analiza przypadków
Zdobywane umiejętności:
Metody polowe
Wzory skróconego mnożenia
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Oznacz stosunek, w jakim punkt dzieli bok , oraz stosunek, w jakim punkt dzieli odcinek . Jak wyrazić pola trójkątów , i całego trójkąta przez te stosunki?
Wskazówka 2
Wykorzystaj fakt, że trójkąty o wspólnej wysokości mają pola proporcjonalne do podstaw. Spróbuj wyrazić wszystkie pola przez pole trójkąta i wprowadzone parametry.
Wskazówka 3
Zapisz warunek z zadania jako równanie algebraiczne z dwoma parametrami. Przekształć je tak, aby otrzymać iloczyn dwóch czynników równy zeru.
Wskazówka 4
Jeśli oznaczyłeś oraz , to warunek na pola powinien dać równanie, które po przekształceniu ma postać iloczynu. Kiedy iloczyn jest równy zero?