Trener OMJ

Zadania

Nauka

Zadanie 3

2016
Etap II
★★★★☆
Teoria liczb
Podzielność a+ba+b przez dd i a⋅ba \cdot b przez d2d^2

Powiązane zadania:

Zad. 7 (2016)
Treść zadania
Dane są dodatnie liczby całkowite aa, bb, dd. Wiadomo, że liczba a+ba+b jest podzielna przez dd, a liczba a⋅ba \cdot b jest podzielna przez d2d^2. Udowodnij, że każda z liczb aa i bb jest podzielna przez dd.
Zadania PDFRozwiązania PDF
Zgłoś błąd
Umiejętności (4)
Wymagane umiejętności:
Podzielność
Reszty z dzielenia
Zdobywane umiejętności:
Podzielność
Reszty z dzielenia
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Skupmy się na dowodzie, że dd dzieli aa; dowód dla bb będzie analogiczny. Oznaczmy g=NWD(a,d)g = \text{NWD}(a, d). Co musisz wykazać o liczbie gg, aby udowodnić, że d∣ad|a?
Wskazówka 2
Zapisz a=ga′a=ga' oraz d=gd′d=gd', gdzie a′a' i d′d' są względnie pierwsze. Zastanów się, jak wykorzystać założenia d∣(a+b)d|(a+b) oraz d2∣abd^2|ab, aby uzyskać nowe informacje.
Wskazówka 3
Z warunku d∣(a+b)d|(a+b) wykaż, że gg musi również dzielić bb. To pozwala zapisać b=gb′b=gb'. Podstaw a=ga′a=ga', b=gb′b=gb' i d=gd′d=gd' do obu założeń i uprość je, aby otrzymać nowe warunki dla a′,b′,d′a', b', d'.
Wskazówka 4
Nowe warunki to d′∣(a′+b′)d' | (a'+b') oraz (d′)2∣a′b′(d')^2 | a'b'. Wywnioskuj z nich, że d′d' musi dzielić (a′)2(a')^2. Pamiętasz, jaką ważną własność mają liczby a′a' i d′d'? Co z niej wynika na temat wartości d′d'?
Prześlij rozwiązanie

Zaloguj się, aby przesłać swoje rozwiązanie

Zaloguj się