Zadanie 7

Oznaczmy $p = a+b+1$. Z treści zadania wiemy, że $p$ jest liczbą pierwszą i dzieli $4ab-1$. Jak można to zapisać w języku arytmetyki modularnej?

Chcemy udowodnić, że $a=b$, co jest równoważne $a-b=0$. Spróbuj przekształcić wyrażenie $4ab-1$ tak, aby pojawiła się w nim różnica $a-b$.

Składnik $4ab$ jest częścią znanej tożsamości algebraicznej wiążącej $a+b$ oraz $a-b$. Wykorzystaj ją oraz zależność $a+b=p-1$, aby przekształcić warunek podzielności.

Powinieneś dojść do wniosku, że $p$ dzieli $(a-b)^2$. Co z tego wynika, skoro $p$ jest liczbą pierwszą? Porównaj bezwzględną wartość różnicy $|a-b|$ z wartością $p$.