Zadanie 6

Rozłóż wyrażenia $p^2+p$ oraz $q^2+q$ na czynniki, aby zapisać warunek z zadania w prostszej postaci.

Z warunku $q(q+1) \mid p(p+1)$ wynikają dwie podzielności. Co wynika z faktu, że $q \mid p(p+1)$, skoro $p$ i $q$ to różne liczby pierwsze?

Rozważ drugą podzielność: $q+1 \mid p(p+1)$. Jakie wspólne dzielniki mogą mieć $p$ i $q+1$? Pamiętaj, że $p$ jest liczbą pierwszą. Wyklucz jedną z możliwości, pokazując, że prowadzi do sprzeczności.

Z poprzednich kroków wynika, że $p+1$ jest wielokrotnością $q$ oraz $q+1$. Co z tego wynika dla podzielności $p+1$? Wyraź $p$ za pomocą $q$ i pokaż, że liczba $\frac{1}{2}(p-q)$ jest iloczynem dwóch liczb większych od 1.