Trener OMJ

Zadania

Nauka

Zadanie 2

2016
Etap I
★★★☆☆
Geometria
Trójkąt ABCABC z ∠ACB=45°\angle ACB = 45° i kwadratami

Powiązane zadania:

Zad. 4 (2015)
Treść zadania
Dany jest trójkąt ostrokątny ABCABC, w którym ∠ACB=45°\angle ACB = 45°. Niech BCEDBCED oraz ACFGACFG będą kwadratami leżącymi na zewnątrz trójkąta ABCABC. Udowodnij, że środek odcinka DGDG pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABCABC.
Zadania PDFRozwiązania PDF
Zgłoś błąd
Umiejętności (4)
Wymagane umiejętności:
Okręgi i koła
Przekształcenia geometryczne
Zdobywane umiejętności:
Przekształcenia geometryczne
Okręgi i koła
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Narysuj figurę i oznacz środek okręgu opisanego jako OO. Jaka jest miara kąta środkowego ∠AOB\angle AOB, jeśli kąt wpisany ∠ACB=45°\angle ACB = 45°? Co to mówi o własnościach trójkąta △AOB\triangle AOB?
Wskazówka 2
Rozważ obrót o 90°90° wokół punktu CC, zgodny z orientacją kwadratu ACFGACFG. Zastanów się, na jaki punkt przejdzie wierzchołek AA. A na jaki punkt przejdzie wierzchołek BB?
Wskazówka 3
Niech RC90°R_C^{90°} będzie obrotem z poprzedniej wskazówki. Udowodnij, że RC90°(△OAB)=△GDER_C^{90°}(\triangle OAB) = \triangle GDE. Co z tego wynika dla odcinków OAOA i GDGD?
Wskazówka 4
Zauważ, że obrót przekształca środek okręgu opisanego na △OAB\triangle OAB na środek okręgu opisanego na △GDE\triangle GDE. Wykorzystaj tę własność oraz fakt, że OO jest wierzchołkiem kąta prostego w △OAB\triangle OAB, aby zakończyć dowód.
Prześlij rozwiązanie

Zaloguj się, aby przesłać swoje rozwiązanie

Zaloguj się