Zadanie 5

Zastanów się, co warunek z zadania oznacza dla ścian spotykających się w jednym wierzchołku. Czy dwie ściany, które nie są siedmiokątami, mogą być sąsiadkami?

Oznacz przez $S_n$ liczbę ścian o $n$ bokach. Zliczając na dwa sposoby wierzchołki należące do ścian siedmiokątnych i niesiedmiokątnych, wyprowadź nierówność wiążącą sumę $\sum_{n \ne 7} nS_n$ z $7S_7$.

Wykorzystaj wzór Eulera dla wielościanów oraz fakt, że w każdym wierzchołku spotykają się co najmniej 3 krawędzie, aby uzyskać drugą nierówność: $12+S_7 \le \sum_{n \ne 7} (6-n)S_n$.

Zestaw obie nierówności i pokaż, że wynika z nich, że $S_7 \ge 2$. Rozważ najmniejszy możliwy przypadek, $S_7=2$, i zbadaj, jakie ściany (oprócz siedmiokątnych) mogą wtedy występować w wielościanie, aby doprowadzić do sprzeczności.