Zadanie 1
2013
Etap III
★★★★☆Algebra
Pięć liczb rzeczywistych
Treść zadania
Danych jest takich pięć dodatnich liczb rzeczywistych, że iloczyn dowolnych dwóch spośród nich jest mniejszy od iloczynu pozostałych trzech. Udowodnij, że każda z danych liczb jest większa od .
Umiejętności (5)
Wymagane umiejętności:
Nierówności
Wzory skróconego mnożenia
Zasada ekstremalna
Zdobywane umiejętności:
Nierówności
Zasada ekstremalna
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Oznacz pięć liczb i dla ułatwienia analizy uporządkuj je rosnąco, np. . Zapisz przykładową nierówność wynikającą z treści zadania.
Wskazówka 2
Aby pokazać, że wszystkie liczby są większe od 1, wystarczy udowodnić to dla najmniejszej z nich. Załóż nie wprost, że najmniejsza liczba spełnia warunek .
Wskazówka 3
Aby uzyskać sprzeczność, rozważ nierówności dla par złożonych z największych liczb. Zapisz warunki dla iloczynów oraz .
Wskazówka 4
Pomnóż stronami dwie nierówności z poprzedniego kroku. Uprość wynik i sprawdź, czy uzyskana zależność jest zgodna z uporządkowaniem liczb i założeniem, że .