Zadanie 1

2009

Etap II

★★★☆☆

Kombinatoryka

Algebra

21 liczb rzeczywistych

Treść zadania

Danych jest 21 liczb rzeczywistych. Wiadomo, że suma każdych jedenastu spośród tych liczb jest większa od sumy pozostałych dziesięciu. Wykaż, że wszystkie te liczby są dodatnie.

Zadania PDF Rozwiązania PDF

Zgłoś błąd

Umiejętności (5)

Wymagane umiejętności:

Dowód nie wprost

Nierówności

Techniki zliczania

Zdobywane umiejętności:

Dowód nie wprost

Nierówności

Wskazówki (0/4)

Wskazówka 1

Spróbuj przeprowadzić dowód nie wprost. Załóż, że nie wszystkie liczby są dodatnie, czyli że istnieje co najmniej jedna liczba mniejsza lub równa zero.

Wskazówka 2

Warunek zadania dotyczy *dowolnego* podziału liczb. Aby znaleźć sprzeczność, warto rozważyć jakiś szczególny, ekstremalny przypadek. Pomyśl o uporządkowaniu wszystkich 21 liczb.

Wskazówka 3

Niech

a_1 \le a_2 \le \dots \le a_{21}

będą uporządkowanymi liczbami, gdzie z założenia

a_1 \le 0

. Rozważ grupę 11 liczb o najmniejszej możliwej sumie. Jaka będzie suma pozostałych 10 liczb?

Wskazówka 4

Zapisz nierówność dla sumy liczb od

a_1

a_{11}

i sumy liczb od

a_{12}

a_{21}

. Porównaj teraz składnik po składniku sumę

a_2+\dots+a_{11}

z sumą

a_{12}+\dots+a_{21}

. Co to mówi o znaku liczby

a_1

Prześlij rozwiązanie

Zaloguj się, aby przesłać swoje rozwiązanie

Zaloguj się