Zadanie 3
2013
Etap II
★★★★☆Kombinatoryka
Teoria liczb
Logika
Tablica i 18 kolejnych sum
Powiązane zadania:
Zad. 2 (2013)
Treść zadania
W każde pole tablicy o wymiarach wpisano pewną dodatnią liczbę całkowitą. Następnie obliczono sumy liczb znajdujących się w każdym wierszu i w każdej kolumnie. Czy może się zdarzyć, że 18 obliczonych sum to kolejne liczby naturalne w pewnym porządku? Odpowiedź uzasadnij.
Umiejętności (6)
Wymagane umiejętności:
Parzystość i nieparzystość
Podwójne zliczanie
Ciągi liczbowe
Zdobywane umiejętności:
Parzystość i nieparzystość
Dowód nie wprost
Podzielność
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Zauważ, że suma wszystkich liczb w tablicy jest równa sumie wszystkich sum wierszowych, a także sumie wszystkich sum kolumnowych.
Wskazówka 2
Oznaczmy 18 sum jako kolejne liczby . Skoro ich łączna suma to suma wierszy plus suma kolumn, to jakiej parzystości musi być ta wielkość?
Wskazówka 3
Wyznacz wzór na sumę 18 kolejnych liczb naturalnych . Uprość wyrażenie tak, aby łatwo było ocenić jego parzystość.
Wskazówka 4
Sprawdź, czy otrzymana suma ciągu jest liczbą parzystą czy nieparzystą. Czy ten wynik jest zgodny z wnioskiem, że suma ta musi być równa podwojonej sumie liczb w tablicy?