Zadanie 6
2013
Etap I
★★★★☆Geometria
Algebra
Punkt na sferze opisanej na sześcianie
Powiązane zadania:
Zad. 5 (2010)
Treść zadania
Punkt leży na sferze opisanej na sześcianie. Wykaż, że suma kwadratów odległości punktu od wierzchołków sześcianu nie zależy od wyboru punktu .
Umiejętności (6)
Wymagane umiejętności:
Układ współrzędnych
Geometria przestrzenna
Niezmienniki
Zdobywane umiejętności:
Niezmienniki
Układ współrzędnych
Wzory skróconego mnożenia
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Środek sfery opisanej na sześcianie jest jednocześnie jego środkiem symetrii. Jaką stałą odległość ma każdy wierzchołek sześcianu oraz punkt P od tego środka?
Wskazówka 2
Sześcian ma wiele symetrii. Zwróć uwagę na wierzchołki leżące na przeciwległych końcach głównych przekątnych. Czy można je połączyć w pary, aby uprościć obliczenie sumy?
Wskazówka 3
Rozważ parę przeciwległych wierzchołków i oraz punkt . Jaki związek łączy kwadraty odległości i z odległością punktu od środka odcinka ?
Wskazówka 4
Środkiem każdej pary przeciwległych wierzchołków jest środek sześcianu. Zastosuj spostrzeżenie z poprzedniej wskazówki do każdej z czterech takich par i zsumuj wyniki.