Zadanie 5
2010
Etap I
★★★☆☆Kombinatoryka
Logika
Tablica z L-tetraminami
Treść zadania
W każde pole kwadratowej tablicy wpisano liczbę rzeczywistą. Okazało się, że suma liczb wpisanych w każde cztery pola, które można nakryć L-tetraminem, jest równa . Wyznacz sumę liczb wpisanych w pola, które znajdują się na obu przekątnych tablicy.
*Uwaga:* L-tetraminem nazywamy figurę składającą się z czterech kwadratów o boku , ułożonych jak na rysunku obok. L-tetramina można obracać i odbijać symetrycznie.
*Uwaga:* L-tetraminem nazywamy figurę składającą się z czterech kwadratów o boku , ułożonych jak na rysunku obok. L-tetramina można obracać i odbijać symetrycznie.
Umiejętności (4)
Wymagane umiejętności:
Niezmienniki
Analiza przypadków
Zdobywane umiejętności:
Niezmienniki
Pokrycia i parkietaże
Wskazówki (0/4)
Wskazówka 1
Warunek dotyczy każdego L-tetramina. Rozważ najmniejszy możliwy fragment tablicy, w którym można umieścić kilka różnych L-tetramin. Jak wygląda taki fragment?
Wskazówka 2
Skup się na dowolnym kwadracie . Oznacz liczby w jego polach np. jako . Ile różnych L-tetramin można utworzyć z pól tego kwadratu?
Wskazówka 3
Zapisz sumy dla wszystkich czterech L-tetramin, które mieszczą się w kwadracie . Każda z tych sum jest równa zero. Co możesz wywnioskować, porównując te równania?
Wskazówka 4
Porównanie równań powinno pokazać, że wszystkie cztery liczby w kwadracie są równe. Co to oznacza dla ich wartości, skoro suma trzech z nich jest zerem? Jaki to ma wpływ na całą tablicę?